Вероятность

Умножение — это про «И»

Сложение — это про «ИЛИ»

Подсчет количества возможных вариантов

Если все исходы равновозможны, то:

$$P(A)=\frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}}$$

Пример: Бросок кубика имеет шесть возможных результатов: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Шансы получить 4, следовательно, составляют $\frac{1}{6}$. А какова вероятность выпадения нечетного числа?

Это может произойти в трех случаях (когда на кубике будет 1, 3 или 5), потому шансы составляют $P(нечетноечисло)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Независимые события

Когда исход одного события не влияет на исход другого, их называют независимыми.

События независимы, если:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

Вероятность получить сочетание конкретных результатов двух независимых событий равна произведению вероятностей каждого из них.

Пример: Если вы одновременно бросаете монету и кубик, то шанс получить «орел» и 6 равняются:

• шанс выпадения 6 на кубике: (1/6)

• шанс получить «орел» монеткой: (1/2)

• вместе: $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{12}\approx 0.08или8\%$

Несовместные события

Несовместные события — это события, которые не могут произойти одновременно, то есть у них нет общих исходов.

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

Важно не путать Несовместные ≠ Независимые

• Несовместные → не могут произойти вместе
• Независимые → не влияют друг на друга

Более того, несовместные события (с ненулевой вероятностью) всегда зависимы.

Пример: Выбор подписки. Ваш интернет-сервис предлагает три тарифа: бесплатный, основной и профессиональный. Вы знаете, что случайный посетитель выберет бесплатный тариф с вероятностью 70%, платный основной — с вероятностью 20% и платный профессио­нальный — с вероятностью 10%. Каковы шансы, что человек подпишется на платный тариф?

Перечисленные события несовместны: нельзя выбрать и основной, и профессиональный тарифы одновременно. Вероятность, что пользователь подпишется на платный тариф, равняется 0,2 + 0,1 = 0,3 (30%).

Пример: Кубик, вероятность выпадения 2 или 5 при броске

• $P(2)=\frac{1}{6}$
• $P(5)=\frac{1}{6}$

$P(A\cup B)=P(2)+P(5)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Пример: В корзине 8 яблок, 5 груш, 6 слив и 2 абрикосы. Какой шанс вытащить грушу или абрикосу?

Всего вариантов: 8+5+6+2=21

События:

• A: вытащили грушу → 5 вариантов: $P(груша)=\frac{5}{21}$
• B: вытащили абрикос → 2 варианта: $P(абрикос)=\frac{2}{21}$

$P(A\cup B)=P(груша)+P(абрикос)=\frac{5}{21}+\frac{2}{21}=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}(33\%)$

Совместные события

События называются совместными, если они могут произойти одновременно в одном и том же исходе. То есть у них есть общие элементы (пересечение).

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

Пример: Бросают шестигранный кубик. Найти вероятность того, что выпадет: чётное число или число больше 3

События:

• A: {2,4,6} (чётное число), $P(чётноечисло)=\frac{3}{6}$
• B: {4,5,6} (число > 3), $P(число>3)=\frac{3}{6}$

Мы не можем просто сложить верояности событий, так как они совместные т.е. имеют пересечения. Так как может выпасть 4 или 6 в обоих событиях и мы дважды учтем их верояности при сложении. Поэтому нам нужно вычести их пересечение:

$P(A\cap B)=\frac{2}{6}$

$P(A\cup B)=\frac{3}{6}+\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Взаимодополняющие события

События A и $\overline{A}$ (или $A^c$) называются взаимодополняющими, если:

• одно происходит, когда другое не происходит
• вместе они покрывают все возможные исходы

$$P(\overline{A})=1-P(A)$$

Взаимодополняющие события — это: «A происходит» и «A не происходит»

Пример: Бросают шестигранный кубик.

• Событие: $A=2,4,6(\text{чётное})$
• Тогда дополнение: $\overline{A}=1,3,5(\text{нечётное})$

Проверка:

• вместе дают всё: {1,2,3,4,5,6}
• не пересекаются

Вероятности:

• $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
• $P(\overline{A})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Взаимодополняющие — это способ: заменить сложную сумму на одно простое вычисление.

Пример: Бросают монету 5 раз. Найти вероятность того, что хотя бы один раз выпадет орёл.

Рассмотрим противоположное событие: ни одного орла = все 5 раз выпала решка.

Считаем дополнение. Вероятность решки за один бросок: $\frac{1}{2}$. Все 5 раз решка: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}$

$P(\text{хотя бы один орёл})=1-P(\text{ни одного орла})=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$